解讀高中數學中的抽象函數

時間：2024-09-22 13:32:31 教學論文我要投稿

解讀高中數學中的抽象函數

　　抽象函數問題是高中函數中的一類綜合性比較強的問題,學生往往感到無從下手。解決這類問題要求學生抽象思維能力、綜合運用數學知識的能力較強,但是,教師只要引導學生準確掌握所學基本初等函數的圖象和性質,分清是哪一類函數的抽象,可以優化思路,使問題難度降低,從而得以解決。

解讀高中數學中的抽象函數

　　下面舉例說明:

　　形如f(x+y)=f(x)+f(y)+m(m為常數)

　　思路:看作一次函數的抽象,聯想一次函數的圖象及性質。特例:m=0時,聯想過原點的直線。

　　例1.函數f(x)對任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且當x>0時,f(x)>1.

　　(1)求證:f(x)是R上的增函數;

　　(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.

　　(1)證明:設x10,

　　∵x>0時,f(x)>1

　　∴f(x2-x1)>1,

　　∵f(x2)-f(x1)=f(x1+x2-x1)-f(x1)

　　=f(x1)+f(x2-x1)-1-f(x1)

　　=f(x2-x1)-1>0

　　(2) ∵f(4)=f(2+2)=2f(2)-1=5,∴f(2)=3.

　　又f(x)是R上的增函數,

　　∴f(3m2-m-2)<3 f(3m2-m-2)

　　∴f(x)是R上的增函數.∴f(3m2-m-2)<3

　　f(3m2-m-2)

　　3m2-m-2<2 -1

　　解得不等式解集為{m|-1

　　點評 1.回歸定義,充分運用已知條件:x>0時,f(x)>0 △x=x2-x1>0,f(x2-x1)>1

　　2.等價轉化思想:運用函數的單調性,去掉函數符號,轉化為解關于m的不等式。

　　思路:聯想冪的運算性質,可看作指數函數的抽象,結合指數函數的圖象和性質進行解題。

　　抽象函數問題,需要綜合運用函數的奇偶性,單調性,周期性,對稱性等性質,應用分析,邏輯推理,聯想類比等數學思想方法。

　　常見題型有:

　　①求抽象函數的某一函數值:根據函數結構特征,用賦值法。

　　②判(證)抽象函數的單調性:類比所學具體函數,充分運用已知條件,對變量合理賦值。

　　③解關于抽象函數的不等式:一看定義域,一看單調性。

　　只要掌握相應的解題策略,問題便會化難為易,迎刃而解。

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