基于Matlab環(huán)境優(yōu)化Taylor中值定理教學(xué)
【摘要】 利用Matlab7.01數(shù)學(xué)軟件學(xué)習(xí)《高等數(shù)學(xué)》中Taylor中值定理，把傳統(tǒng)的教學(xué)模式“講授?記憶”教學(xué)過程變成“直覺?探索?思考?猜想?驗證”的探究式教學(xué)過程。充分利用計算機強大的計算能力和圖形處理功能，實現(xiàn)科學(xué)合理的多媒體教學(xué).
【關(guān)鍵詞】 Matlab; Taylor中值定理; 多媒體
1 引言
數(shù)學(xué)實驗課程在大學(xué)悄然興起，促使數(shù)學(xué)實驗室從無到有、從小到大，“直覺?探索?思考?猜想?驗證”的探究式學(xué)習(xí)有了物質(zhì)基礎(chǔ)。優(yōu)秀軟件Matlab在多媒體教學(xué)中占據(jù)了一席之地，PPT與Matlab界面可以通過超級鏈接等多種方式方便切換。在Matlab環(huán)境中，簡單的操作界面具有一定的人機交流對話功能，有利于學(xué)生發(fā)揮主體性、提高學(xué)習(xí)主動性和創(chuàng)造性。在自主操作過程中，學(xué)生對數(shù)學(xué)概念和公式的理解得到深化，學(xué)習(xí)興趣增強。所以，合理使用Matlab軟件可以大大縮短抽象和直觀、理論和實踐的認識過程。
2 在Matlab環(huán)境中學(xué)習(xí)Taylor定理
在近似計算和誤差理論分析以及級數(shù)學(xué)習(xí)中，Taylor中值定理有著非常重要的地位和作用。學(xué)生在學(xué)習(xí)Taylor中值定理時，學(xué)生往往只知其然不知其所以然，只能從教材中有限的靜態(tài)圖像中被動接受，對公式的實質(zhì)不了解或不甚了解，所以學(xué)生對Taylor中值定理之美少有體會。在Matlab界面中，可以排除“講授?記憶”課堂教學(xué)模式中許多不能解決的許多障礙。
2.1 問題提出
定理1 若f(x)在x0處可導(dǎo)，則在x0的某個鄰域內(nèi)有
f(x)=f(x0)+f '(x0)(x-x0)+o(x-x0)，
或記為f(x)≈f(x0)+f '(x0)(x-x0) (1)
例1 當(dāng)|x|很小時，ex≈1+x，sinx≈x (如圖1、2)。 圖1 exp(x),1+x 圖2 sin x,x
例1兩個關(guān)系的Matlab語句分別為：
x=-2:0.1:2;
plot(x,exp(x),x,1+x,)
grid on;axis equal
axis([-2.5 2.5 -1 8])
x=-pi:0.1:pi;
plot(x,sin(x), x,x,)
grid on;axis equal
axis([-pi pi -2 2])
grid on和axis equal語句可以省略，只是圖像中失去網(wǎng)格線、縱橫坐標(biāo)軸比例失調(diào)。
直覺會激發(fā)學(xué)生的想象。通過探索與思考，學(xué)生會思考這樣的問題：當(dāng)|x|很小時，才能保證公式(1)式的精度，如果需要較大范圍怎么辦呢?也就是說，怎么保證在離坐標(biāo)原點較遠處也有較小的誤差呢?這一點可以通過提高導(dǎo)數(shù)的階數(shù)來保證。
2.2 問題分析
在微積分學(xué)中，多項式函數(shù)pn(x)顯示出簡潔性、易操作性。定理1就是以一次多項式p1(x)近似代替f(x)，公式(1)右邊多項式部分提取了f(x)的位置和傾斜度信息，說明了用一次函數(shù)p1(x)近似表示函數(shù)f(x)，p1(x)與 f(x)在一定范圍內(nèi)就吻合得較好，如圖1。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的意義可以知道，f(x0)、f'(x0)、f''(x0)…分別表示了函數(shù)f(x)的位置、傾斜度、彎曲方向…特性。通過啟發(fā)，學(xué)生猜想，若提取f(x)更多的特征值信息f(n)(x0)：使f(n)(x0)= p(n)(x0)，即提高導(dǎo)數(shù)的階數(shù)要求，就可以保證在更大范圍內(nèi)pn(x)與 f(x)仍然吻合較好嗎?對于同一個問題而言，是否導(dǎo)數(shù)的階數(shù)越高，達到吻合要求的范圍越大呢?
定理2 (Taylor中值定理)若f(x)在x0的某個領(lǐng)域內(nèi)有直到n+1階導(dǎo)數(shù)，則對該領(lǐng)域內(nèi)的任意x，有：
f(x)=f(x0)+f''(x0)(x-x0)+12!f(x0)(x-x0)2+…+1n!f(x0)(x-x0)n + o(x-x0) (2)
成立。
例2 作圖觀察近似關(guān)系式ex≈1+x+12!x2+13!x3 和 sin x≈x-13!x3+ 15!x5 (如圖3、4)，并與例1比較。
例2 兩個關(guān)系的Matlab語句分別為：
x=-3:0.1:4;
y0=exp(x);
y1=1+x+x.^2/2+x.^3/3;
plot(x, y0,x, y1,)
x=-pi:0.1:pi;
y3= sin(x);
y4=x-x.^3/6+x.^5/120;
plot(x, y3,x,y4,)
在Matlab環(huán)境中的演示過程，驗證了學(xué)生的猜想。
圖3 exp(x),1+x+x2/2+x3/3
圖4 sin x,x-x3/6+x5/120
2.3 結(jié)論驗證
通過課堂講授、動手驗證，學(xué)生對taylor中值定理
ex=?nk=0xkk!+o(xn) 和 sin x=?nk=0(-1)k-1x2k-1(2k-1)!+o(x2n)
有了直觀形象的認識。從邏輯思維角度，可視化環(huán)境為學(xué)生理解Taylor中值定理提供了感性材料;從方法論角度，學(xué)生學(xué)習(xí)了把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)換為近似簡單形式的處理方法，為學(xué)生學(xué)習(xí)冪級數(shù)和Fourier級數(shù)以及在醫(yī)藥學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域中的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。
大學(xué)生已經(jīng)具備英語基礎(chǔ)，可以使用稍加深入的Matlab簡單程序更好地解決問題，如依次使用不同線型、顏色、動態(tài)性等特點在同一坐標(biāo)系中展示多個圖像(如圖5)。參考名為taylor.m程序如下：
x=-2*pi:pi/10:2*pi;i=1:13;m=1:13;
n(i)=factorial(m(i));y1=x-x.^3/6;
y2=x-x.^3/6+x.^5/n(5);
y3=y2-x.^7/n(7);y4=y3+x.^9/n(9);
y6=y4-x.^11/n(11)+x.^13/n(13);
plot(x, sin(x),'k','linewidth',2)
axis([-2*pi 2*pi -2 2]);axis equal, gtext('sin(x)');pause
hold on
plot(x, x,'--'),gtext('n=1'),pause
plot(x, y1,'g-.'),gtext('n=2'),pause
plot(x, y2,'-.'),gtext('n=3'),pause
plot(x, y3,'r'),gtext('n=4'),pause
plot(x, y4,'b'),gtext('n=5'),pause
plot(x, y6,'m','linewidth',3),
gtext('n=7'),pause
legend('sinx','y1','y2','y3','y4','y6','Location','NorthEastOutside')
hold off
圖5 sin x及其1、2、3、4、5、7階Taylor公式圖形
在Matlab7.01環(huán)境中，只需輸入程序名Taylor，然后回車即可。
當(dāng)自然數(shù)m和i的值增大時，在Matlab7.01界面中，得到的Taylor中值定理左端函數(shù)f(x)和右端多項式函數(shù)pn(x)部分的圖像，隨著多項式次數(shù)的增高，兩部分的圖像會在更大的范圍吻合的很好，即誤差相對越來越小，學(xué)生的猜想和Taylor中值定理的局部逼近思想得到了直觀驗證。
3 結(jié)束語
以上內(nèi)容是Taylor中值定理的主要內(nèi)容和基本精神。文中的Matlab語句通俗易懂，只需對語句中的參數(shù)稍加修改，就可以在數(shù)學(xué)實驗室或機房上機實驗、驗證教材或參考資料中的結(jié)論和自己的猜想，也可以更精確、更大范圍地驗證其它函數(shù)的Taylor中值定理的正確性。Matlab學(xué)習(xí)環(huán)境生動、直觀形象、神形具備，既達到了數(shù)學(xué)教學(xué)的目的和要求，也激發(fā)了學(xué)生進行簡單編程的興趣，實現(xiàn)了數(shù)學(xué)與計算機和英語學(xué)教學(xué)的橫向聯(lián)系，促進了雙語教學(xué)，實現(xiàn)教育技術(shù)與計算機技術(shù)的結(jié)合。
Matlab在數(shù)學(xué)建模中也起到了舉足輕重的作用。高等院校數(shù)學(xué)教師，只有對數(shù)學(xué)專用軟件，如Matlab7.01、Maple7以及Mathematics等有較深的理解和掌握，才能實現(xiàn)真正意義上的多媒體教學(xué)，實現(xiàn)傳統(tǒng)教學(xué)模式向現(xiàn)代教學(xué)模式的轉(zhuǎn)變。
【參考文獻】
1 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系，主編.高等數(shù)學(xué).北京：高等教育出版社，2006：119～120.
2 陳杰.Matlab寶典.北京：電子工業(yè)出版社，2007 .
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