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歐式期權的預期估價方法及其投資決策
歐式期權的主觀預期估價方法及投資決策
摘要 考慮投資者對股票價格的推斷或權衡等主觀因素，給出歐式期權的主觀預期估價及投資決策方法。方法的建立無需特別設定假設條件，且計算公式十分簡單。
關鍵詞 期權 定價 投資 決策
1 引言
標準的Black-Scholes 歐式期權定價模型是建立在一系列的假設條件基礎上的，如，市場無摩擦性假設，標的股票價格變化服從對數(shù)正態(tài)分布等。假設在時刻股票價格為，，為期權執(zhí)行日，時指定的期權執(zhí)行價格為，則Black-Scholes歐式看漲期權定價公式為[1]
（1）
其中，，為股票預期收益的方差，為利率，為標準正態(tài)分布的概率分布函數(shù)，為期望值算子。
為克服標準Black-Scholes模型的不足，相繼出現(xiàn)了一些修正的模型和方法，如，Merton的隨機利率模型[2]，Cox-Ross-Rubinstein的二叉樹方法及其擴展[3]，有限差分方法，Monte-Carlo模擬方法等。
上述方法中沒有直接反映投資者對股票價格的推斷與權衡等主觀因素。為此，本文嘗試建立反映投資者對股票價格推斷與權衡等主觀因素的歐式期權估價方法，該方法建立在較少的假設之上，且易于計算。
方法的建立
2．1 基本假設
（1）無稅收、無交易成本；（2）無風險利率為；（3）在期間內股票不分紅。
在第3節(jié)指出，條件（1）、（3）可以經適當處理后去掉。條件（2）可以采用Ｍerton的隨機利率模型方法加以改進。
2．2 方法的建立
在時，投資者根據(jù)股票價格的歷史情況及經過對影響股票價格的未來因素分析后，對時股票價格進行主觀估計和預期。估價方法為：投資者認為在時股票價格在區(qū)間[內的可信度為，；為投資者給定的值。因此，的可信度也為，。
記，則，。
由于在T時，只有時，投資者才會執(zhí)行看漲期權；為此，令
， （2）
所以，對的預期估計為
（3）
（4）
因此，由（1）知，投資者對該期權價值的估計為
（5）
顯然，是一個區(qū)間數(shù)，且其計算只涉及簡單的加法和乘法，是相當容易的。
3 進一步分析
3．1考察稅收、交易成本和股票紅利的情況
只需將稅收、交易成本和股票紅利的相應值折算至T時刻，設其和值為，令，在公式（2）~（5）中用取代即可。
3. 2 考察隨機利率的情況
類似于Merton的隨機利率期權定價方法的思想。令表示T時價值為1的零息票債券在時的價格，則將（5）式改寫為
（6）
當然，若同時考察3.1中的情況，還需將、作相應的調整。
3. 3 考察情況
這種情況在投資者的推斷中一般不會出現(xiàn)。這里也僅考察和的關系。假設時，任意小（），，其中為對數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù)在上的取值，則由概率論知， ，其中為（1）式表示的期望值。即當投資者對股票價格隨機變化的概率密度估計為連續(xù)函數(shù)，且該函數(shù)與Black-Scholes模型中的對數(shù)正態(tài)分布密度函數(shù)一致時，投資者對該期權的估計值與Black-Scholes模型定價結果一致。
投資決策及示例
4. 1 投資決策
由（5）式知，投資者給出期權價值的估計值為一區(qū)間數(shù)，則投資者如何利用這個區(qū)間數(shù)進行投資決策呢？這與投資者的風險厭惡程度有關。下面給出中大于的元素組成的子區(qū)間的可信度，不同的投資者可以根據(jù)這個可信度進行決策。
記或，或，則將中大于的子區(qū)間與的比值作為中大于的元素組成的子區(qū)間的可信度
（7）
顯然，p值越大對投資者越有利，，風險厭惡程度不同的投資者根據(jù)p的大小進行投資決策。
4. 2 示例
一歐式看漲期權，還有6個月（半年）的有效期，股票現(xiàn)價為42元，期權的執(zhí)行價格為40元，無風險年利率為10%，股票價格的年波動率為20%，即：，，，，，則，，，；假設一投資者對股票在年后的估價為的可信度為1/6，的可信度為1/6，的可信度為2/3，則的可信度為1/6，的可信度為1/6，的可信度為2/3，由和的定義知，，，，，所以，=[2.219,5.231]，0.156，投資者可根據(jù)值的大小進行決策。
5 結束語
本文給出了一種形式簡單的歐式看漲期權的主觀預期估價方法及投資決策，方法反映了投資者對標的股票價格變化的主觀推斷或權衡。該方法可以稍加改造用于歐式看跌期權的估價中。即只需將（2）式和（5）式相應地修改如下：
， （）
（）
為歐式看跌期權的相應估價。
參考文獻
1 宋逢明. 金融工程原理—無套利均衡分析. 清華大學出版社,1999年版
2 John C. Hull著, 張?zhí)諅プg. 期權、期貨和衍生證券. 華夏出版社，1997年版
3 Marek Musiela, Marek Rutkowski. Martingale methods in financial modelling. Springer-verlag
Berlin Heidelberg, 1997
4 James O. Berger 著，賈乃光譯. 統(tǒng)計決策論及貝葉斯分析. 中國統(tǒng)計出版社，1998年版
Subjective pricing method for European options
and corresponding investment decision
Abstract In this paper, we consider the subjective factors of decision-maker’s inference to the variation of underlying stock price, and give a subjective pricing method for European options and the corresponding investment strategy. The method is established under almost no assumption conditions, and the calculation formulae are very simple.
Keywords Options Pricing Investment Decision-making
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