重視數學思想的教學讓學生終身受益論文

重視數學思想的教學讓學生終身受益論文

　　《數學課程標準》（實驗稿）指出，在數學教學中，教師應讓學生獲得必要的數學基礎知識和基本技能，理解基本的數學概念、數學結論的本質，了解概念、結論等產生的背景、應用，體會其中所蘊含的數學思想和方法，以及它們在后續學習中的作用。數學的精神和本質在于它的思想和方法，運用數學思想的目的是為了完成促使新知在已有知識基礎上達到某種發展或重組，從而達到由未知向已知的轉化。因此，筆者認為，數學教學中最基本、最重要的數學思想應是化歸思想。

　　一、化歸思想及其中數學教學中的意義

　　所謂化歸，就是轉化。而它較之轉化又具有較強的性和方向性，是用聯系、運動、發展變化的觀點來看待問題，把未解決的問題通過某種轉化歸結為已經解決或易于解決的問題。從本質上說，就是對問題進行變形，促使矛盾轉化。數學問題的解決都可歸結為化歸思想的應用，化歸就是解決問題。化復雜為簡單，化陌生為熟悉，化抽象為具體，化無限為有限……就是化歸思想的具體體現。無論從數學課程內容的展開，還是數學問題的編擬，都為化歸思想的培養提供了豐富的材料，學生新知識的學習無不化歸到已有知識基礎上來獲得。因此，我們必須認識到學生在校學習期間形成了化歸思想，就為他們的終身學習打下了良好的基礎。而化歸思想并不是教給學生一個模式就能解決問題，而是需要通過不斷的滲透和長期的培養訓練才能逐漸形成的。

　　中學數學教材中的化歸思想無處不在，且貫穿于教學的全過程中。如空間中的線線平行、線面平行、面面平行之間的相互轉化關系；三角函數中的化多角形式單角形式、化未知角為已知角、化多種函數名稱為一種函數名稱、化高次為低次、化特殊為一般；等等。數學思想，如影隨形。筆者認為，必須充分利用教材提供的豐富材料，使學生逐步形成運用化歸思想探索和解決問題的意識，樹立知難而進、化難為易的數學精神。

　　例1：已知：tan a=1/2。tan（a—b）=—2/5，求tan（b—2a）的值。

　　出示題目后，學生按正切的兩角差公式展開，因為tan b和tan 2a都未知，所以計算無法進行下去，此時，筆者引導學生分析已知角與所求角之間的關系，學生發現b—2a=（b—a）—a，將b—2a轉化為（b—a）—a，視（b—a）為一整體即可求得tan（b—2a）的值。

　　解：因為tan（a—b）=—2/5，故tan（b—a）=2/5，故tan（b—2a）=tan[（b—a）—a]=[tan（b—a）—tan a]/[1+tan（b—a）tan a]=—1/12。

　　在中學數學中，化歸不僅是一種重要的解題思路，更是一種重要的思維策略。除了前面所述的轉化外，還有數與形的轉化，整體與局部的轉化、常量與變量的轉化、相等與不等的轉化、函數與方程的轉化，正與反的轉化、動與靜的轉化，等等。

　　例2：當m為何值時，直線mx+y—3m+1=0不通過第一象限？

　　“不通過”的反面是“通過”，由于當直線的斜率為正或縱截距為正時，直線總是通過第一象限。因此，本題可引導學生由正面轉化到反面后再進行解決。

　　解：直線mx+y—3m+1=0可化為y=—mx+3m—1，當—m>0或3m—1>0，即m<0或m>1/3時，該直線通過第一象限，故當0≤m≤1/3時，直線不通過第一象限。

　　二、化歸思想下的數學問題解決策略

　　學生通過數學學習掌握了基本的數學知識，并逐步形成了基本的數學思維模式和解決問題的基本策略，再以這些知識、模式、策略為基礎解決數學問題，從而就豐富和擴展了原有的模式系列，并在新的層次上進一步深入學習和進行新的問題的解決。為此，在數學教學中，不僅要讓學生的化歸意識得到潛移默化的提高，更重要的是要讓學生在問題解決中掌握運用化歸思想解決問題的策略。

　　策略1、模式建立——模式識別——化舊為新

　　模式建立是指把已經解決了的問題在頭腦中形成新的認知結構，模式識別就是把要解決的問題比照以前已經解決的問題，設法將新問題的分析研究納入到已有的認知結構或模式中來，把陌生的問題通過適當的變更轉化為熟悉的問題來進行解決。這一解題策略體現了化歸的思想，即這種解題策略的目的是為了達到化生為熟、化舊為新。如在高中的立體幾何的空間距離（點到平面的距離、直線與平面的距離、兩平行平面的距離）的計算中，點到平面的距離是“基本模式”，直線與平面的距離、兩平行平面的距離最終都必須轉化為點到平面的距離來解決。有了這種基本模式，化歸就有了目標和方法。

　　策略2、數形結合——取長補短——化難為易

　　數形結合是一種重要的數學思想，其本質還是化歸思想，這種思想就是把問題的數量關系和空間形式結合起來，根據解決問題的需要，把數量關系問題轉化為圖形性質問題來討論，或把圖形性質問題轉化為數量關系問題來研究。簡言之，就是“數形相互取長補短”。在中學數學教學中，常常采用數形結合的方法使學生加深對知識和方法的理解，開拓思路，把問題化難為易、化繁為簡、化隱為顯。

　　例3求函數y= + 最小值。

　　引導學生由已知信息聯想平面上兩點間的距離公式，作變化y= + = + ，則問題轉化為在x軸上找一點p（x，0），使它到兩個定點A（—2，2），B（0，2）的距離之和為最小。由幾何方法可求得當x=—1時，ymin=2 。

　　本題通過對函數表達式進行恒等變形，使其所表示的幾何意義——兩點間距離——顯現了出來，從而使問題得以解決。

　　“數”可準確澄清“形”的模糊，“形”能直觀啟迪“數”的計算。數形結合，取長補短，運用數形結合策略解決問題，既可溝通知識間的內在聯系，又能拓寬思維領域，優化思維品質。

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