淺談數學解學中發散思維的培養

淺談數學解學中發散思維的培養

        一、 一題多解，引導學生廣開思路、發散思維
        在教學中，在教學中運用精選的習題進行一題多解的訓練，一題多解，就是用不同的思維分析方法，多角度多途徑地解答問題數學題目，由于其內在的規律，或思考的途徑不同，可能會有許多不同的解法．因此，在平時的教學中，教師有意識的通過教材題目的引伸拓寬，引導學生廣開思路、發散思維，探求多種解法，以此來訓練和培養他們思維的創造性．
        如2008年陜西中考試題第二十題：陽光明媚的一天，數學興趣小組的同學們去測量一棵樹的高度（這棵樹底部可以到達，頂部不易到達），他們帶了以下測量工具：皮尺、標桿、一副三角尺、小平面鏡．請你在他們提供的測量工具中選出所需工具，設計一種測量方案．

        第一種方法：選用皮尺、標桿；證明△ABC∽△DEF ,測量DE、AC、EF的長就能得出樹AB的高度．
        第二種方法：選用平面鏡、皮尺；利用平面鏡成像原理證明證明△ABC∽△DEF ,測量CE、DE、AC的長就能得出樹AB的高度．
        第三種方法：選用標桿、皮尺；利用視線，測量DF、AF、EF、CD的長，構造相似三角形，從而得出樹高AB的高度．
        采用“一題多解”時要引導學生從不同角度來觀察和思考，以尋求不同的解題途徑，同時引導學生對多種方法進行比較，優化解題方法，并注意找出同一問題存在各種解法的條件與原因，挖掘其內在規律．
        二、 一題多變，變式題目結構，培養學生的數學發散思維
        教學中也可運用“一題多變”將題目結構進行變式，將一題演變成多題，而題目實質不變，讓學生解答這樣的問題，能隨時根據變化的情況思考，從中找出它們之間的區別和聯系，以及特殊和一般的關系．使學生不僅能復習、回顧、綜合應用所學的知識，而且是使學生把所學的知識、技能、方法、技巧學牢、學活，培養了思維的靈活性和解決問題的應變能力．
        如：學習人教版九年級的二次函數時，例題：已知二次函數的圖象經過A（1，0）、B（－2，0）、C（2，4）三點，求此函數的解析式．        出示題目后，讓學生分析題意，再做解答，大多數學生用待定系數法：設
        Y= ａX2 +ｂX+ C（a≠0）通過解方程組求得；也有一部分學生由于認真分析了這道題的特征，設出了Y=ａ（x－1）（x－2）（ａ≠0），再將（2，4）代入上式，很快得出函數解析式，并確認了第二種解法更簡捷，此時學生們情緒激昂、思維活躍，教師便因勢利導提出問題：能否適當改變題中的條件，使所求的函數解析式不變？學生分小組討論、交流，并明確比一比哪一小組編得又快又好．各小組分別進行探究，教師深入到小組中，了解學生探究的過程、碰到的問題等．在給定時間內學生充分討論后，編得了許多好題，并要求其他小組的同學驗證、評價．典型的題目有以下幾種： 
        變式１．已知Y＝ａX2＋X＋C（ａ≠0）的圖象過點A（1，0），B（－2，0），求這個函數的解析式．
        變式2．已知Y＝X2，平移，使這個函數的圖象經過（1，0）和（－2，0），求這個函數的解析式．
        變式3．已知二次函數的圖象經過（0，－2），圖象向右平移 個單位后，以Y軸為對稱軸，圖象向上平移 個單位后與X軸只有一個交點，求這個二次函數的解析式．
        變式4．已知二次函數Y＝ａX2＋ｂX－2圖象過點（－1，－2），且函數最小值為－1 ，求這個二次函數的解析式．
        以上所用的方法都不同，但所求函數解析式均為Y＝X2＋X－2，正所謂殊途同歸，一題多用，例題既考慮到知識的覆蓋面，又和教材重點內容緊密相聯，經常通過這樣的訓練，能使學生具有敏捷的思維，豐富的想象，出眾的發散思維能力．
        三、一法多用，通過對方法實質的理解，運用一種方法解決同類型的題目，鍛煉學生的思維．
        學生在解題過程中能總結有著普遍意義的方法，這種方法能向寬闊的范圍內遷移，并應用于許多情況．
        例如，人教版八年級下冊四邊形中有這樣一道題：你知道順次連接四邊形各邊中點所得的圖形是什么四邊形嗎？在本題中涉及中點，自然應該聯想到三角形兩邊中點連線平行第三邊．因此，在圖上進行分解時，要有意識把全圖用不同形式分解出三角形中具有中位線的圖形，不難推出這個四邊形是平行四邊形．
        許多幾何圖形之間有著內在的聯系，此題可引申為任意四邊形、平行四邊形、菱形，矩形，正方形中點連線所得的四邊形是什么樣的形狀．這樣對題目進行訓練，一是有利把四邊形的知識作充分的復習和應用；二是對如何運用三角形中位線的技巧做了系統的訓練，可以完全掌握這類問題的思路，并且他們會把新知識消化吸收，納入已有的知識系統，形成新的 認知結構，這樣從一題多解引申探討，達到做一題知一類，提高解題能力，培養發散思維的目標．
        發散思維是對已知信息進行多方面、多角度的思考，不局限于既定的理解，從而提出新問題，探索新知識或發現多種解答和多種結果的思維方式，其功能是“求異”．發散思維對推廣原問題、引申舊知識、發現新方法等具有積極的開拓作用．因此，創造力更多地富于發散思維中．發散思維是多方向性和開放性的思維方式，它同單一、刻板和封閉的思維方式相對立，它承認事物的復雜性、多樣性和生動性，在聯系和發展中把握事物．發散性思維仿佛具有眾多條的”觸角”，不拘泥于一個方向、一個框架而向四面八方延伸，可使學生的思維縱橫交錯，構成豐富多彩的“意識之網”，是一種數學意識的生成． 

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