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  • 小學(xué)奧數(shù)“雞兔同籠”問題的幾種解法

    時間:2023-11-15 20:30:21 賽賽 奧數(shù)知識 我要投稿
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    小學(xué)奧數(shù)“雞兔同籠”問題的幾種解法

      雞兔同籠,是中國古代著名典型趣題之一,大約在1500年前,《孫子算經(jīng)》中就記載了這個有趣的問題。以下是小編整理的小學(xué)奧數(shù)“雞兔同籠”問題的幾種解法,希望對大家有所幫助。

      小學(xué)奧數(shù)“雞兔同籠”問題的幾種解法

      “雞兔同籠”問題是我國民間廣為流傳的典型數(shù)學(xué)趣題之一,最早出現(xiàn)在《孫子算經(jīng)》中。其大意是說:籠子里有雞和兔若干,從上面數(shù),有35個頭,從下面數(shù),有94只腳。雞和兔各有幾只?

      我們現(xiàn)在把數(shù)量變小一點:籠子里有雞和兔若干,從上面數(shù),有12個頭,從下面數(shù),有38只腳。雞和兔各有幾只?

      先讓孩子明確幾個名稱:每只兔有4只腳,腳只數(shù)要多一些,我們把它(兔)定為“多”量;每只雞只有2只腳,腳只數(shù)要少一些,我們把它(雞)定為“少”量;每只兔比每只雞多2只腳(4-2),我們把它(4-2)定為“差”。

      一、猜測法

      先猜測,再驗證,逐一排除,這種方法實用性不大。

      二、列舉法

      列舉法可一一列舉、跳躍列舉,也可對半列舉,關(guān)鍵在于逐步調(diào)整,以達到題意的要求,操作時若數(shù)據(jù)較大時過程頗為繁瑣,比較費時,目的性也不強,在此不加贅述。

      三、假設(shè)法

      假設(shè)法也就是先假設(shè)全部是其中的某一種(雞或兔),算出腳的只數(shù),看比實際腳的總只數(shù)是多了還是少了,由于一只兔比一只雞多(4-2)只腳,再用多余或不足的腳只數(shù)除以“差”(4-2)就是另一種的只數(shù)。具體算法是:

      1、假設(shè)全部都是“多”量(兔):

      多余的腳只數(shù)÷“差”=“少”量(雞)

      例如,假設(shè)全部都是兔,就有腳4×12=48(只),比實際腳的總只數(shù)多出了48-38=10(只),則雞有10÷(4-2)=5(只)。兔的只數(shù)就是12-5=7(只)。

      2、假設(shè)全部都是“少”量(雞):

      不足的腳只數(shù)÷“差”=“多”量(兔)

      例如,假設(shè)全部都是雞,就有腳2×12=24(只),比實際腳的總只數(shù)少了38-24=14(只),則兔有14÷(4-2)=7(只)。雞的只數(shù)就是12-7=5(只)。

      四、方程法

      方程法是最適用,也是最具一般性的解答方法,這種方法思路清晰,易于理解。具體方法是:設(shè)甲有x只,則乙有a-x只。根據(jù)等量關(guān)系“雞腳總數(shù)+兔腳總數(shù)=腳的總只數(shù)”就可列出方程進行解答。

      如:

      1、解:設(shè)雞有x只,則兔有12-x只。

      2x+4×(12-x)=38

      x =5

      兔有12-5=7(只)。

      2、解:設(shè)兔有x只,則雞有12-x只。

      4x+2×(12-x)=38

      x =7

      雞有12-7=5(只)。

      在方程法中,為了避免像方法1的解方程過程中出現(xiàn)“2x+48-4x=38 ”小學(xué)生應(yīng)用現(xiàn)在小學(xué)知識還難以理解的知識問題,在幫助學(xué)生理解后,可建議學(xué)生像方法2那樣設(shè)“多”的(兔)為x,就可避免出現(xiàn)像“2x-4x”這樣的問題。

      五、“抬腿法”(減半法)

      “抬腿法”是我們的祖先解決“雞兔同籠”問題的經(jīng)典方法,體現(xiàn)了我們祖先的聰明才智。其算理是:假如每只雞都抬起一條腿(“金雞獨立”),同時每只兔也都抬起兩條腿(蹲著),各抬起一半腿,則總腿數(shù)減半,此時一只雞一條腿,而有一只兔就多一條腿,所以腿總數(shù)÷2-頭數(shù)=“多”量(兔)

      如上面例題,38÷2=19(只),19-12=7(只)(兔)。

      孩子一嘗試,可能很快就會發(fā)現(xiàn)這種方法最簡便、快捷,但在以后的訓(xùn)練中要讓學(xué)生體會到,“抬腿法”僅適用于典型的“雞兔同籠”問題(或“龜鶴問題”),而對于植樹、租船等“雞兔同籠”的變式問題并不通用。所以“抬腿法”具有一定的局限性。

      六、對半分法

      據(jù)我對“雞兔同籠”問題的理解,用“對半分法”來解決“雞兔同籠”問題也很適用。先假設(shè)雞和兔(即“多”量和“少”量)各占一半,算出此時腳的全部只數(shù),如果超過腳的總只數(shù),說明“多”量(兔)多了,如果不夠腳的總只數(shù),說明“多”量(兔)少了;再用超過或不足部分除以腳只數(shù)“差”(4-2)就是兔多出或少的只數(shù),然后用“一半”減去或加上多出或少的只數(shù),就是兔的只數(shù)。

      如上面例題,先假設(shè)各有12÷2=6(只),此時共有腳4×6+2×6=36(只),不足總數(shù)38只,說明兔少了,少了(38-36)÷(4-2)=1(只),所以兔有6+1=7(只)。同理,雞有6-1=5(只)。

      再如前面“雞兔同籠”的原題:有35個頭,共94只腳。先假設(shè)各有35÷2=17.5(只),此時共有腳4×17.5+2×17.5=105(只),超過總數(shù)94只,說明兔多了,多了(105-94)÷(4-2)=5.5(只),所以兔有17.5-5.5=12(只)。同理,雞有17.5+5.5=23(只)。

      “雞兔同籠”問題的解題方法有多種,孩子進入中學(xué)后,隨著知識面的擴展,將會學(xué)到其它不同的解法。

      奧數(shù)題“雞兔同籠”新解法

      1、同一個籠子里養(yǎng)著雞和兔子,它們共有88個頭,244只腳,雞和兔各有多少只?

      解決“雞兔同籠”的常用方法有以下幾種:畫圖法、列表法、假設(shè)法、方程法,今天我向你們推薦一種新的解題方法:“抬腿法”。

      解析:我們設(shè)想一下,籠子里的雞和兔子都非常聽話,你吹一次口哨,每只雞和兔子就抬起一條腿,你一共吹兩次口哨,雞和兔子都抬起兩條腿,這時,雞坐在地上,兔子像人一樣有兩條腿站著,地上只有244-88×2=68條腿,都是兔子的腿,每只兔子都有兩條腿,共有68÷2=34只兔子,

      有雞88-34=54只。

      2、“雞兔同籠”,雞、兔共有107只,兔子的腳數(shù)比雞的腳數(shù)多56只,問:雞、兔各有多少只?

      解析:學(xué)生做這道題時常用方程來解決,今天,我向你們推薦一種方法:“補腳法”。

      因為雞的腳比兔子的腳少56只,如果把雞的腳補上56只的話,那么就要增加56÷2=28(只)雞,這樣,雞、兔共有107+28=135(只),雞腳、兔腳一樣多,雞的只數(shù)就是兔子的2倍。

      兔:135÷(2+1)=45(只)

      雞:135-45-28=62(只)

      3、雞兔同籠,雞比兔多12只,共有腳114只,求雞、兔各有幾只?

      解析:解決這道題,我們可以用“補頭法”。

      因為雞比兔子多12只,如果把兔子補上12個頭的話,就要多出12×4=48條腿,這樣一共有114+48=162條腿,雞頭和兔頭一樣多,我們把一只雞和一只兔子兩個一組分開,每組里共有腳6只,一共可以分162÷6=27組,就有27只雞,兔子有27-12=15只。

      “雞兔同籠”問題的解法

      一、假設(shè)法

      假設(shè)法又可分為幾種,一種是假設(shè)籠子中全部都是雞,一種是假設(shè)籠子中全部都是兔,還有一種就是《孫子算經(jīng)》中所用的抬腿法(也就是假設(shè)所有的雞和兔都抬起一只腿)。

      1、假設(shè)籠子中的動物全部都是雞

      因為每只雞有2只腳,地上的腳的總數(shù)應(yīng)該就是35 × 2 = 70只;但實際上腳的總數(shù)并不是70,而是94,多出了94 - 70 = 24只腳。

      為什么會多出24只腳呢?

      因為籠子中除了雞外,還有兔子,每只兔子有4只腳,比每只雞要多2只腳,現(xiàn)在總共多了24只腳,要多少兔子才能比雞多24只腳呢?我們就要用多出的這24只腳除以每只兔子比雞多出的2只腳,24 ÷ 2 = 12只,也就是說,籠子中兔子的數(shù)量就是12只。

      雞的數(shù)量就等于總數(shù)量35只減去兔子的數(shù)量12只,35 - 12= 23只。

      現(xiàn)在我們來檢查一下計算的結(jié)果,用兔子的數(shù)量乘以每只兔子有4只腳,加上雞的數(shù)量乘以每只雞的2只腳,看看腳的總數(shù)是不是94只。

      12 × 4 + 23 × 2 = 48 + 46 = 94

      結(jié)果吻合,說明我們的計算是正確的。

      2、假設(shè)籠子中的動物全部都是兔子

      因為每只兔子有4只腳,所以,腳的總數(shù)應(yīng)該是35 × 4 = 140只,但實際上腳的總數(shù)只有94只,實際比假設(shè)的情況,少了140 - 94 = 46只腳。

      為什么會少46只腳?

      因為籠子中并不全都是兔子,還有雞,每只雞只有2只腳,比兔子的4只腳要少2只腳,現(xiàn)在總共少了46只腳,要多少只雞才能少46只腳呢?我們就要用少的這46只腳除以每只雞比兔子少的2只腳,46 ÷ 2 = 23只,也就是說,籠子中雞的數(shù)量是23只。

      3、抬腿法

      這種方法與第一種假設(shè)法的原理是一樣的,在教材中也有詳細(xì)的講解,這里就不再講解。

      二、方程解法

      我們再來看方程解法,方程也有兩種解法,可以用小學(xué)五年級的一元一次方程來解,也可以用初中的二元一次方程組來解,這里我們著重講一元一次方程的解法。

      這道題需要求兩個未知數(shù),分別是兔子的數(shù)量與雞的數(shù)量,我們可以設(shè)其中任意一個未知數(shù)為X。

      1、設(shè)雞的數(shù)量為X

      則兔子的數(shù)量為35-X

      每只雞有2只腳,雞腳的總數(shù)可表示為2X

      每只兔有4只腳,兔腳的總數(shù)可表示為(35-X)x4

      所有腳的總數(shù)可表示為2X+(35-X)x4

      因為腳的總數(shù)為94只

      所以2X+(35-X)x4=94

      2X+140-4X=94

      2X=140-94

      2X=46

      X=23

      雞的數(shù)量為23只。

      兔的數(shù)量為35-23=12只。

      2、二元一次方程組

      具體解法是:設(shè)雞的總數(shù)為X,兔的總數(shù)為Y。

      X + Y = 35 2X + 4Y = 94

      X = 35 - Y 2(35 - Y) + 4Y = 94

      70 - 2Y + 4Y = 94

      70 + 2Y = 94

      2Y = 24

      Y = 12

      X = 35 - 12

      X = 23

      最終解出來的結(jié)果就是,X = 23,Y = 12。

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