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等差、等比數列性質的靈活運用
【摘要】數列的相關知識在高中數學教學中占有相當重要的位置，正確而熟練地掌握數列的性質對于解決數列問題有很大的幫助。
【關鍵詞】數列；性質；運用
【Abstract】The sequence related knowledge holds the quite important position in the high school mathematics teaching, correctly and grasps the sequence the nature to have the very big help skilled regarding the solution sequence question.
【Key words】Sequence; Nature; Using1. 對于等差數列{an}，任意兩項an、am的關系是：an=am+(n-m)d或am＝an＋（m－n）d
例：｛an｝為等差數列，已知a5=2,a3=1，求通項公式
解法一：∵an＝a1＋（n-1)d
∴a5＝a1＋4d＝2
a3＝a1＋2d＝1
解得a1＝0，d＝12
∴an＝a1＋（n-1)d=12(n-1)
解法二：由等差數列性質可得：
a5＝a2＋2d
而a5＝2，a3＝1
∴2d＝1，d＝12
∴an＝a5＋（n－5）d＝2＋12（n－5）＝12（n－1）
第二種方法方便、快捷，而第二種方法恰恰是運用了等差數列的性質。
2. 對于等差數列｛an｝來說，如果m＋n＝p＋q（m、n、p、q都是正整數)，那么就有am＋an＝ap＋aq
例：｛an｝為等差數列，已知a3＝5，a17＝11，求s19＝？
解法一：根據題意可得：
a3＝a1+2d=5………1
a17=a1+16d=11……2
②-①:14d=6,d=37
a1=297
∵sn=na1+n(n-1)d2
∴s19=19a1+19(19-1)d2
=19×297+19×182×37
=5517+5137=10647=152
解法二：
∵｛an｝為等差數列
∴sn=n(a1+an)2
s19=19(a1+a19)2=19(a3+a17)2=19(5+11)2=19×8=152
很顯然解法二非常快捷，計算量小。
3. ｛an｝為等比數列，sn為其前n項和，則有：sm,s2m-sn,s3m-s2m也成等比數列
例：已知等比數列｛an｝的前m項和sm＝10，前2m的和s2m=10，求s3m=?
解法一：①假設公比q=1時，sm=ma1=10,s2m=2ma2=30
顯然是矛盾的，因此公比q=1是錯誤的
②公比q≠1,sm=a1(1-qm)1-q=10①
s2m=a1(1-q2m)1-q=10②
②÷①:1+qm=3qm=2
由①和qm=2可得:a11-q=-10
因此s3m=a1(1-q3m)1-q
=a1(1-qm)(1+qm+q2m)1-q
=10×(1-2)(1+2+4)
=10×7
=70
解法二：∵{an}是等比數列
∴sm,s2m-sm,s3m-s2m
即10,20,s3m-30也成等比數列
∴10（s3m-30)=202
∴s3m-30=40
s3m=70
兩種解法一對照，第二種方法太簡便了。
綜上所述，數列性質的靈活運用的確可以達到簡捷運算，化難為易的目的。
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